最新动态
文章排行

它的发明,意义重大——弧度制

2021-11-20    来源:科普中国-科学原理一点通

  在初中数学中,对角的度量采用的是角度制。到了高中,课本上又出现了一种新的度量角的方法——弧度制。弧度制,顾名思义就是用弧长来度量角的方法,用弧长与半径的比来刻画圆心角的大小。这样的话,角的单位已经由“度”换成了“弧度”,那么圆周角表示为2π,平角表示为π,直角表示为。首先通过以下问题,回顾一下弧度制。

   

  设有两条相交的射线(有方向的半直线),这两条射线之间便会形成一个夹角。我们如何来度量这个夹角的大小呢?无论从理论上,还是从历史事实上,度量角的方法都有很多。

  弧度制便是度量角度大小的其中一种方式。它的办法是以两条相交直线的交点为中心,以单位长度1为半径作一个圆周(数学上称之为单位圆),然后把两条相交直线所夹的单位圆的弧长,作为度量两直线的夹角的值。就像前面说的那样,圆周角为2π弧度,平角为π弧度,直角为弧度,等等。那么,引入弧度制有何意义呢?

  引入弧度制给我们带来几大益处:

  1、弧度制的引入使得角的集合与实数R之间建立起了一一对应的关系。虽然用角度制也可以建立对应关系,但由于进位制不同会导致计算不便。而有了弧度制后,每一个角都对应唯一一个实数,即弧度数就是这个实数的角,每一个实数对应唯一一个角的大小;

  2、在角度制下,三角函数的图象会出现问题。例如点P(x,sinx)的横坐标x是60进制,纵坐标sinx是10进制,在角度制下正弦函数y=sinx的图象中横坐标和纵坐标比例不一致,如图1所示。而在弧度制下,正弦函数y=sinx图象中点P(x,sinx)的横、纵坐标一致,如图2所示。

   

  3、在角度制下,弧长公式是L=,面积公式为S=;在弧度制下,弧长公式是L=αR,面积公式为S=LR。两者相比较,弧度制公式更加简洁,运用起来更加方便,主要体现在用极坐标知识计算某些图形面积或曲线弧长上。

  弧度制被广泛接受,也是受到微积分的推动。在微积分的很多公式中,角的度量使用弧度制会比使用角度制来得更加直观和方便。如,重要极限=1的公式。

  最后,弧度制的出现不仅可以用更简洁的方式将数学式子表示出来,而且让角有了统一的描述,有了更加科学的定义。弧度制充分体现了数学体系的一致性和简约性。不得不说,弧度制是人类取得的一个伟大成果。

  本文由石家庄市藁城区第九中学一级教师刘丽芳进行科学性把关。   

  新华网科普事业部

  科普中国-科学原理一点通

  联合出品